4元数宝典

这是国内找不到的超好文章。（为什么大陆的4元数文章很垃圾呢？） （翻译中。。。奉献给大家~~） 70秒即懂，能使用，用四元数，4元数，阔特尼恩，Quaternion旋转 (C) 中田  亨  （独立行政法人  产业技术综合研究所  数字人类研究中心  研究员 博士（工学）） 2003年11月25日 ★这个页面的对象读者 想把三次元的旋转，用CG等定量地处理的人 使用欧拉角(Euler Angles)的话，不懂得其道理的人 卡尔丹角和欧拉角(Cardan Angles)不能区别的人 对吉恩瓦尔洛克很困惑的人 但是，对数学之类麻烦的事情很讨厌的人 想要实例程序的人 没有时间的人 ★旋转篇： 　我将说明使用了四元数（si yuan shu, quaternion）的旋转的操作步骤 （１）四元数的虚部，实部和写法 所谓四元数，就是把4个实数组合起来的东西。 4个元素中，一个是实部，其余3个是虚部。 比如，叫做Q的四元数，实部t而虚部是x,y,z构成，则像下面这样写。 Q = (t; x, y, z) 又，使用向量 V=(x,y,z)， Q = (t; V)   也可以这么写。 正规地用虚数单位i,j,k的写法的话， Q = t + xi + yj + zk 也这样写，不过，我不大使用 （２）四元数之间的乘法 虚数单位之间的乘法 ii = -1, ij = -ji = k (其他的组合也是循环地以下同文) 有这么一种规则。（我总觉得，这就像是向量积（外积），对吧） 用这个规则一点点地计算很麻烦，所以请用像下面这样的公式计算。 A = (a; U) B = (b; V) AB = (ab - U·V; aV + bU + U×V) 不过，“U·V”是内积，「U×V」是外积的意思。 注意：一般ABBA所以乘法的左右要注意！ （3）3次元的坐标的四元数表示 如要将某坐标(x,y,z)用四元数表示， P = (0; x, y, z) 则要这么写。 另外，即使实部是零以外的值，下文的结果也一样。用零的话省事所以我推荐。 （４）旋转的四元数表示 以原点为旋转中心，旋转的轴是(α, β, γ) （但 α^2 + β^2 + γ^2 = 1）， （右手系的坐标定义的话，望向向量(α, β, γ)的前进方向反时针地） 转θ角的旋转，用四元数表示就是， Q = (cos(θ/2); α sin(θ/2), β sin(θ/2), γ sin(θ/2)) R = (cos(θ/2); -α sin(θ/2), -β sin(θ/2), -γ sin(θ/2)) (另外R 叫 Q 的共轭四元数。） 那么，如要实行旋转， 则 R P Q = (0; 答案) 请像这样三明治式地计算。这个值的虚部就是旋转之后的点的坐标值。 （另外，实部应该为零。请验算看看） *未完。。。